초등 핵심 다지기

개요

수학의 가장 처음은 수를 세는 일이다. 사과가 하나, 둘, 셋 … 이렇게 물건을 세는 데 쓰는 수가 자연수($1, 2, 3, \dots$)다. 그리고 이 자연수를 가지고 더하고, 빼고, 곱하고, 나누는 네 가지 계산을 사칙연산이라 부른다. 어렵게 느껴질 수 있지만 하나도 겁먹을 필요 없다. 아주 천천히, 기초부터 차근차근 짚어 보자.

핵심 사실

• 자릿값: 같은 숫자라도 놓인 자리에 따라 값이 달라진다. 예를 들어 $3054$ 에서 천의 자리 $3$ 은 $3000$ 을, 십의 자리 $5$ 는 $50$ 을 뜻한다. (일의 자리는 $4$, 백의 자리는 $0$ 이다.) 같은 $3$ 이라도 어느 자리에 있느냐에 따라 크기가 완전히 달라지는 것이다.
• 네 가지 연산: 덧셈($+$), 뺄셈($-$), 곱셈($\times$), 나눗셈($\div$) 네 가지가 있다. 각각 “합치기 / 덜어내기 / 여러 번 더하기 / 똑같이 나누기”라고 생각하면 쉽다.
• 계산 순서: 여러 연산이 섞여 있을 때는 순서가 정해져 있다. 곱셈·나눗셈을 덧셈·뺄셈보다 먼저 한다. 그리고 괄호가 있으면 괄호 안을 가장 먼저 계산한다. 예를 들어

$$12 - 3 \times 2 = 12 - 6 = 6$$

이다. 만약 앞에서부터 순서대로 $12 - 3 = 9$ 로 계산하면 틀린 답이 나온다.

비교표

연산	기호	뜻	예
덧셈	$+$	합치기	$3 + 4 = 7$
뺄셈	$-$	덜어내기	$7 - 4 = 3$
곱셈	$\times$	여러 번 더하기	$3 \times 4 = 12$
나눗셈	$\div$	똑같이 나누기	$12 \div 4 = 3$

시험 포인트

• 여러 연산이 섞여 있으면 곱셈·나눗셈을 먼저 계산한다. 이 순서를 잊고 앞에서부터 차례로 풀면 틀리기 쉬우니, 계산 전에 곱셈·나눗셈이 있는지 먼저 살펴보자.
• 괄호가 있으면 괄호 안을 가장 먼저 계산한다. 괄호는 “여기부터 하라”는 표시라고 생각하면 된다.
• 자릿값을 헷갈리지 않도록 주의한다. $50$ 과 $500$ 은 숫자 $5$ 가 놓인 자리가 다를 뿐인데 크기는 열 배나 차이 난다.
• 처음에는 천천히 자리를 맞춰 가며 계산해도 괜찮다. 익숙해지면 자연스럽게 빨라진다.

개요

앞에서 배운 사칙연산 가운데 곱셈과 나눗셈을 조금 더 깊이 들여다보자. 곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 지름길이고, 나눗셈은 그것을 거꾸로 되돌리는 계산이다. 이 둘은 서로 짝을 이루는 관계라서 함께 이해하면 훨씬 쉽다. 천천히 하나씩 따라가 보자.

핵심 사실

• 곱셈 = 반복된 덧셈: $3 \times 4$ 는 $3$ 을 네 번 더한 것과 같다.

$$3 \times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$$

우리가 외우는 구구단은 바로 이 곱셈의 표를 미리 외워 둔 것이다.

• 곱셈은 순서를 바꿔도 같다 (교환법칙): $3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$. 어느 쪽을 먼저 써도 결과가 같다.
• 나눗셈 = 똑같이 나누기: $12 \div 4 = 3$ 은 ”$12$ 를 $4$ 묶음으로 똑같이 나누면 한 묶음이 $3$ 이 된다”는 뜻이다.
• 곱셈과 나눗셈은 서로 역(반대): $3 \times 4 = 12$ 라면, 이를 거꾸로 하면 $12 \div 4 = 3$ 이고 $12 \div 3 = 4$ 다. 곱셈을 알면 나눗셈이 저절로 따라온다.
• 몫과 나머지: 딱 나누어떨어지지 않을 때도 있다. 예를 들어 $17 \div 5 = 3 \cdots 2$ 이다. 여기서 몫은 $3$, 나머지는 $2$ 다. 맞게 나눴는지 검산하려면 다시 곱셈으로 되돌리면 된다.

$$17 = 5 \times 3 + 2$$

비교표

구분	곱셈	나눗셈
뜻	같은 수를 여러 번 더하기	똑같이 나누기
기호	$\times$	$\div$
서로의 관계	나눗셈의 반대	곱셈의 반대

시험 포인트

• 몫과 나머지를 구분한다. $17 \div 5$ 에서 몫은 $3$, 나머지는 $2$ 다. 나머지는 항상 나누는 수보다 작아야 한다.
• $0$ 으로는 나눌 수 없다. $5 \div 0$ 같은 계산은 답을 정할 수 없으니 주의한다.
• 곱셈은 순서를 바꿔도 되지만(교환법칙), 나눗셈은 순서를 바꾸면 안 된다. $12 \div 4$ 와 $4 \div 12$ 는 전혀 다른 값이다.
• 검산할 때는 (나누는 수) × (몫) + (나머지) 가 원래 수가 되는지 확인하면 된다.

개요

곱셈과 나눗셈을 익히면 자연스럽게 따라 나오는 개념이 약수와 배수다. 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수가 약수이고, 어떤 수를 몇 배 한 수가 배수다. 그리고 이 개념은 곧 다음에 배울 분수의 약분과 통분의 바탕이 된다. 지금 여기서 잘 다져 두면 뒤가 훨씬 수월해지니, 기초부터 차근차근 익혀 보자.

핵심 사실

• 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 그 수의 약수라 한다. 예를 들어 $12$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ 로 모두 $6$ 개다. 이렇게 약수는 개수가 정해져 있다(유한하다).
• 배수: 어떤 수를 $1$ 배, $2$ 배, $3$ 배 … 한 수를 그 수의 배수라 한다. 예를 들어 $4$ 의 배수는 $4, 8, 12, 16, \dots$ 처럼 끝없이 많다(무한하다).
• 약수와 배수는 짝: 한 관계를 양쪽에서 부르는 이름이다. $12$ 는 $4$ 의 배수이고, 동시에 $4$ 는 $12$ 의 약수다.
• 최대공약수: 두 수의 공통인 약수 중에서 가장 큰 수다. 나중에 분수를 약분할 때 쓴다.
• 최소공배수: 두 수의 공통인 배수 중에서 가장 작은 수다. 나중에 분수를 통분할 때 쓴다. 예를 들어 $4$ 와 $6$ 의 최소공배수는 $12$ 다.

비교표

구분	약수	배수
뜻	나누어떨어지게 하는 수	몇 배 한 수
개수	유한 (정해져 있음)	무한 (끝없이 많음)
예 ($12$, $4$)	$12$ 의 약수: $1,2,3,4,6,12$	$4$ 의 배수: $4,8,12,16,\dots$

시험 포인트

• 약수는 개수가 유한하고 배수는 끝없이 무한하다는 점을 헷갈리지 않는다.
• $1$ 은 모든 수의 약수다. 또 어떤 수든 자기 자신은 자기의 약수이자 배수다.
• 최대공약수는 약분에, 최소공배수는 통분에 쓰인다. 두 쓰임을 구분해 기억하면 다음 소단원(분수)이 훨씬 쉬워진다.
• 두 수의 최소공배수를 찾을 때는, 각 수의 배수를 나란히 써 보고 처음으로 겹치는 수를 고르면 된다.

개요

분수와 소수는 1보다 작거나 정수가 아닌 수를 나타내는 두 가지 언어다. 분수 $\dfrac{3}{4}$ 와 소수 $0.75$ 는 똑같은 크기를 서로 다른 방식으로 적은 것일 뿐이다. 이 단원에서는 두 표현을 자유롭게 오가고, 분수끼리 더하고 빼기 위한 통분과 약분을 다진다.

핵심 사실

• 분수 $\dfrac{b}{a}$ 는 “전체를 $a$ 등분한 것 중 $b$ 개”를 뜻한다. ($a \neq 0$)
• 약분: 분모와 분자를 같은 수로 나누어 더 간단한 분수로 만든다. 예: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
• 통분: 분모가 다른 분수를 같은 분모로 맞춘다. 더하거나 뺄 때 반드시 먼저 한다.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

• 소수 → 분수: 소수점 아래 자리 수만큼 10의 거듭제곱을 분모로 둔다. 예: $0.75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$

비교표

구분	분수	소수
표기	$\dfrac{3}{4}$	$0.75$
강점	정확한 비(比) 표현	크기 비교가 직관적
덧셈·뺄셈	통분이 필요	자릿수만 맞추면 됨
대표 쓰임	비율·확률	돈·측정값

시험 포인트

• 분수의 덧셈·뺄셈에서는 통분을 먼저 하고, 계산 뒤에는 항상 기약분수로 약분했는지 확인한다.
• 대분수와 가분수 사이 변환에서 실수가 잦다. $1\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$ 처럼 정수 부분을 빠뜨리지 않는다.
• 순환소수는 분수로 정확히 바꿀 수 있다는 점이 이후 학년의 유리수 단원으로 이어진다.

개요

비는 두 양을 견주어 나타낸 것이고, 비율은 그 비를 하나의 수(분수·소수)로 나타낸 것이며, 백분율은 비율을 100을 기준으로 다시 쓴 것이다. 셋은 서로 다른 개념이 아니라 같은 관계를 상황에 맞게 바꿔 부르는 이름이다.

핵심 사실

• 비: 남학생과 여학생이 각각 12명, 18명이면 비는 $12 : 18 = 2 : 3$ 으로 간단히 한다.
• 비율 = $\dfrac{\text{비교하는 양}}{\text{기준량}}$. 위 예에서 여학생에 대한 남학생의 비율은 $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ 이다.
• 백분율: 비율에 100을 곱하고 % 를 붙인다. $\dfrac{2}{3} \approx 0.667 = 66.7\%$
• 속력도 비율의 한 예다. 거리와 시간의 비이므로 $v = \dfrac{s}{t}$ 로 정의된다.

비교표

표현	예	기준
비	$2 : 3$	두 양의 견줌
비율	$\dfrac{2}{3}$	기준량을 1로
백분율	$66.7\%$	기준량을 100으로

시험 포인트

• 비를 간단히 할 때는 두 항을 같은 수로 나눈다. 한쪽만 나누면 안 된다.
• ”$A$ 에 대한 $B$ 의 비율”은 분모가 $A$(기준량), 분자가 $B$ 임을 반드시 구분한다.
• 백분율 문제는 기준량이 무엇인지 먼저 찾으면 대부분 풀린다.

개요

수를 세는 법을 익혔으니, 이제 재는 법을 배울 차례다. 연필이 얼마나 긴지, 가방이 얼마나 무거운지, 물이 얼마나 들어가는지 — 이렇게 크기를 숫자로 나타내는 일이 측정이다. 그런데 "$5$" 라고만 하면 $5$ 센티미터인지 $5$ 미터인지 알 수 없다. 그래서 숫자 뒤에는 반드시 단위를 붙인다. 이 단원에서는 단위를 읽고, 서로 바꾸는 연습을 한다. 규칙만 알면 어렵지 않으니 천천히 따라가 보자.

핵심 사실

• 측정값 = 숫자 + 단위: 단위가 빠지면 답이 아니다. $5\,\text{cm}$ 와 $5\,\text{m}$ 는 백 배나 차이 난다.
• 길이: 작은 것부터 $\text{mm}$(밀리미터) → $\text{cm}$(센티미터) → $\text{m}$(미터) → $\text{km}$(킬로미터). $1\,\text{cm} = 10\,\text{mm}$, $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$, $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$ 이다.
• 무게: $\text{g}$(그램) → $\text{kg}$(킬로그램) → $\text{t}$(톤). $1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}$ 이고 $1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$ 이다.
• 들이(액체가 담기는 양): $\text{mL}$(밀리리터) → $\text{L}$(리터). $1\,\text{L} = 1000\,\text{mL}$ 이다.
• 큰 단위로 바꾸면 숫자는 작아진다: $300\,\text{cm}$ 는 $3\,\text{m}$ 다. 길이가 줄어든 게 아니라 재는 자를 바꿨을 뿐이다. 반대로 작은 단위로 바꾸면 숫자는 커진다.
• 시간만 $60$ 씩 올라간다: $1$ 분 $= 60$ 초, $1$ 시간 $= 60$ 분, $1$ 일 $= 24$ 시간. 다른 단위처럼 $10$ 배나 $1000$ 배가 아니라는 점이 시간의 가장 큰 특징이다.
• 어림: 정확히 재기 어려울 때는 대략 얼마쯤인지 짐작해 본다. 어른 걸음 한 걸음이 약 $70\,\text{cm}$, 우유 한 팩이 약 $200\,\text{mL}$ 처럼 기준을 하나씩 몸에 익혀 두면 답이 터무니없을 때 바로 알아챌 수 있다.

비교표

재는 것	단위 (작은 것 → 큰 것)	올라가는 배수
길이	$\text{mm}$ → $\text{cm}$ → $\text{m}$ → $\text{km}$	$10$ 배, $100$ 배, $1000$ 배
무게	$\text{g}$ → $\text{kg}$ → $\text{t}$	$1000$ 배씩
들이	$\text{mL}$ → $\text{L}$	$1000$ 배
시간	초 → 분 → 시간	$60$ 배씩

시험 포인트

• 답에 단위를 빠뜨리지 않는다. 숫자만 쓰면 틀린 답으로 본다.
• 단위를 바꿀 때는 어느 쪽이 큰 단위인지 먼저 확인한다. 큰 단위로 가면 숫자가 작아지고($2500\,\text{m} = 2.5\,\text{km}$), 작은 단위로 가면 숫자가 커진다($2.5\,\text{km} = 2500\,\text{m}$).
• 시간에 $100$ 을 쓰지 않는다. $1$ 시간 $30$ 분은 $1.5$ 시간이지 $1.3$ 시간이 아니다. $30$ 분은 한 시간의 절반이기 때문이다.
• 계산 전에 단위를 하나로 맞춘다. $1\,\text{m}$ 와 $50\,\text{cm}$ 를 더하려면 먼저 $100\,\text{cm} + 50\,\text{cm} = 150\,\text{cm}$ 로 통일한 뒤 더한다.

개요

지금까지는 수를 다뤘다면, 이제부터는 모양을 다룬다. 도형은 어려운 그림이 아니라 점·선·각 세 가지 재료로 만들어진다. 이 재료의 이름과 성질을 알아 두면 다음 소단원에서 배울 둘레와 넓이가 훨씬 쉬워진다. 도형에서 쓰는 말들은 처음 들으면 낯설지만, 하나하나 뜻만 알면 그다음은 그림을 보는 것으로 충분하다.

핵심 사실

• 점·선·면: 위치만 있는 것이 점, 점이 이어져 생긴 것이 선, 선이 둘러싸 만든 평평한 부분이 면이다. 두 점을 곧게 이은 선을 선분이라 한다.
• 각과 각도: 한 점에서 두 선분이 벌어진 정도가 각이고, 그 벌어진 크기를 숫자로 나타낸 것이 각도다. 단위는 도($^\circ$)를 쓴다.
• 각의 종류: 직각은 정확히 $90^\circ$, 직각보다 작으면 예각, 직각보다 크고 $180^\circ$ 보다 작으면 둔각이다. 반듯하게 펴진 각($180^\circ$)은 평각이다.
• 수직과 평행: 두 직선이 만나 이루는 각이 직각일 때 두 직선은 수직이다. 아무리 늘여도 만나지 않는 두 직선은 평행하다.
• 삼각형의 종류: 세 변이 모두 같으면 정삼각형, 두 변이 같으면 이등변삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형이다.
• 사각형의 종류: 네 각이 모두 직각이면 직사각형, 거기에 네 변까지 모두 같으면 정사각형이다. 마주 보는 두 쌍의 변이 평행하면 평행사변형, 한 쌍만 평행하면 사다리꼴, 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모다.
• 내각의 합: 삼각형의 세 각을 모두 더하면 언제나 $180^\circ$ 다. 사각형은 대각선 하나로 삼각형 두 개로 나뉘므로 네 각의 합은 $180^\circ \times 2 = 360^\circ$ 다.
• 밑변과 높이: 넓이를 구할 때 기준으로 삼는 변이 밑변이고, 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지 수직으로 잰 거리가 높이다. 높이는 비스듬한 변의 길이가 아니라는 점이 중요하다.

비교표

사각형	변의 조건	각의 조건
정사각형	네 변이 모두 같다	네 각이 모두 직각
직사각형	마주 보는 변끼리 같다	네 각이 모두 직각
평행사변형	마주 보는 두 쌍이 평행	직각일 필요 없음
사다리꼴	한 쌍만 평행	직각일 필요 없음
마름모	네 변이 모두 같다	직각일 필요 없음

시험 포인트

• 정사각형은 직사각형이기도 하다. 직사각형의 조건(네 각이 직각)을 이미 만족하고, 거기에 네 변이 같다는 조건이 더 붙은 것이다. “더 특별한 직사각형”이라고 생각하면 된다.
• 높이는 반드시 수직으로 잰 거리다. 기울어진 삼각형에서 비스듬한 변의 길이를 높이로 쓰면 넓이가 틀린다.
• 각도를 물었는데 답이 $180^\circ$ 를 넘으면 어딘가 잘못됐다. 삼각형 세 각의 합은 $180^\circ$ 로 정해져 있으므로, 두 각을 알면 나머지 하나는 빼서 구한다.
• 예각과 둔각은 직각($90^\circ$)을 기준으로 갈린다. 작으면 예각, 크면 둔각이다.

개요

둘레는 도형의 경계 길이이고, 넓이는 도형이 덮는 평면의 크기다. 길이는 $\text{cm}$, 넓이는 $\text{cm}^2$ 처럼 단위 자체가 다르다는 점이 이 단원의 첫 관문이다. 앞의 두 소단원에서 익힌 단위와 밑변·높이를 그대로 가져다 쓰니, 새로 외울 것은 공식 몇 개뿐이다.

핵심 사실

• 직사각형: 넓이 $S = a \times b$, 둘레 $\ell = 2(a + b)$
• 삼각형: 넓이 $S = \dfrac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})$
• 원: 둘레 $\ell = 2\pi r$, 넓이 $S = \pi r^2$
• 넓이의 단위는 길이의 단위를 제곱한 것이다. $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$ 지만 $1\,\text{m}^2 = 10000\,\text{cm}^2$ 이다.

비교표

도형	둘레	넓이
직사각형	$2(a + b)$	$a \times b$
삼각형	세 변의 합	$\dfrac{1}{2} \times$ 밑변 $\times$ 높이
원	$2\pi r$	$\pi r^2$

시험 포인트

• 둘레와 넓이를 바꿔 쓰는 실수가 가장 흔하다. 원에서 $2\pi r$ 과 $\pi r^2$ 을 헷갈리지 않는다.
• 원의 넓이에는 반지름을 넣는다. 지름이 주어지면 반으로 나눈 뒤 대입한다.
• 단위 환산에서 넓이는 길이 비의 제곱만큼 커진다는 점을 기억한다.

개요

우리 주변에는 숫자로 된 정보가 넘친다. 반 친구들이 좋아하는 색깔, 일주일 동안의 기온, 우리 반이 모은 헌 종이의 양 — 이렇게 모은 정보를 자료라고 한다. 그런데 자료를 그냥 쭉 늘어놓으면 무슨 뜻인지 한눈에 들어오지 않는다. 그래서 먼저 기준을 정해 나누고(분류), 표로 세어 정리한 뒤, 보여주고 싶은 것에 맞는 그래프로 그린다. 이 단원의 핵심은 “어떤 그래프를 언제 쓰는가”다. 그래프마다 잘하는 일이 다르기 때문이다.

핵심 사실

• 분류하기: 자료를 정리하는 첫걸음은 기준을 하나 정해 같은 것끼리 묶는 것이다. 색깔·모양·종류처럼 기준이 분명해야 겹치거나 빠지는 것 없이 나눌 수 있다.
• 표: 분류한 것을 세어 개수를 적으면 표가 된다. 각 항목이 몇 개인지(도수) 숫자로 정리되어, 많고 적음을 바로 비교할 수 있다.
• 막대 그래프: 항목별 개수를 막대의 길이로 나타낸다. 막대가 길수록 많은 것이라 많고 적음을 비교할 때 가장 좋다.
• 꺾은선 그래프: 점을 찍고 선으로 이어 시간에 따른 변화를 보여준다. 기온이 오르내리는 모습처럼 변화와 흐름을 볼 때 쓴다.
• 띠그래프·원그래프: 전체를 하나로 보고 각 항목이 차지하는 비율을 길이(띠)나 부채꼴(원)로 나타낸다. “전체에서 얼마만큼”을 볼 때 좋다.
• 그래프는 목적에 맞게 고른다: 비교하려면 막대, 변화를 보려면 꺾은선, 비율을 보려면 띠·원. 같은 자료라도 무엇을 말하고 싶은지에 따라 그래프가 달라진다.

비교표

그래프	잘 보여주는 것	예시
막대 그래프	항목의 많고 적음 비교	좋아하는 과일별 학생 수
꺾은선 그래프	시간에 따른 변화	하루 동안의 기온 변화
띠·원그래프	전체에서 차지하는 비율	우리 반 혈액형 비율

시험 포인트

• 그래프의 눈금을 먼저 확인한다. 한 칸이 $1$ 인지 $10$ 인지에 따라 읽는 값이 완전히 달라진다.
• 막대와 꺾은선을 헷갈리지 않는다. 비교는 막대, 변화는 꺾은선이다. “시간에 따라”라는 말이 나오면 대개 꺾은선이다.
• 원그래프·띠그래프의 백분율을 모두 더하면 $100\%$ 다. 한 조각이 빠졌다면 $100$ 에서 나머지를 빼서 구한다.
• 자료를 분류할 때는 기준을 하나로 통일한다. 색깔로 나누다가 모양으로 바꾸면 같은 것이 두 번 세어질 수 있다.

개요

자료를 그래프로 나타냈다면, 이번에는 그 자료를 한 개의 수로 요약하는 법을 배운다. 시험 점수가 여럿일 때 “대충 어느 정도였나”를 말해 주는 것이 평균이다. 그리고 동전을 던지거나 제비를 뽑을 때 “그 일이 얼마나 일어날 것 같은가”를 나타내는 것이 가능성이다. 가능성은 나중에 배울 확률의 첫걸음으로, 여기서는 말과 간단한 수로 그 크기를 가늠해 본다. 둘 다 어렵지 않으니 뜻부터 천천히 잡아 보자.

핵심 사실

• 평균 = 자료의 합 ÷ 자료의 수: 여러 값을 모두 더한 뒤 개수로 나눈다. 예를 들어 $3, 5, 7, 9$ 의 평균은 $(3+5+7+9) \div 4 = 24 \div 4 = 6$ 이다.
• 평균은 자료를 대표하는 값이다. 값들을 고르게 나눠 가졌을 때 각자 얼마가 되는가로 생각하면 쉽다. 그래서 대푯값이라고 부른다.
• 평균은 실제 자료에 없는 값일 수 있다. $3, 5, 7, 9$ 의 평균 $6$ 은 자료에는 없지만, 전체를 잘 요약한다.
• 가능성: 어떤 일이 일어날 것 같은 정도다. 불가능하면 가장 작고, 반드시 일어나면(확실) 가장 크다.
• 가능성을 수로 나타내면 $0$ 부터 $1$ 까지다. 불가능은 $0$, 반반은 $\frac{1}{2}$, 확실은 $1$. $0$ 보다 작거나 $1$ 보다 큰 가능성은 없다.
• “반반”은 정확히 $\frac{1}{2}$: 동전의 앞·뒤처럼 두 경우가 똑같이 일어날 것 같을 때다.

아래에서 주사위를 직접 굴려 보세요. 몇 번만 굴리면 어떤 눈은 많이 나오고 어떤 눈은 안 나옵니다. 그런데 횟수를 크게 늘리면 여섯 눈의 막대가 모두 비슷해집니다 — 가능성이 같다는 말은 “한 번 한 번이 고르게 나온다”가 아니라 “아주 많이 해 보면 고르게 된다”는 뜻입니다.

주사위 100번주사위 10,000번

주사위 한 개동전 10개 중 앞면 수주사위 두 개의 합

1회 10회 1,000회 10,000회 초기화

시행 횟수

0

이론값과의 최대 차이

—

가로선이 이론 확률입니다. 몇 번 굴려서는 막대가 선과 한참 어긋납니다.

비교표

말로 나타낸 가능성	수로 나타낸 가능성	예시
불가능하다	$0$	흰 공만 든 주머니에서 검은 공 꺼내기
반반이다	$\frac{1}{2}$	동전을 던져 앞면이 나오기
확실하다	$1$	흰 공만 든 주머니에서 흰 공 꺼내기

시험 포인트

• 평균은 반드시 개수로 나눈다. 합만 구하고 나누기를 빠뜨리는 실수가 가장 흔하다. $\text{평균} = \dfrac{\text{합}}{\text{개수}}$.
• 개수를 정확히 센다. 값이 $4$ 개면 $4$ 로 나눠야 한다. 값 하나를 빠뜨리면 평균이 통째로 달라진다.
• 가능성은 $0$ 과 $1$ 사이임을 기억한다. 답이 음수이거나 $1$ 을 넘으면 어딘가 틀린 것이다.
• 말로 된 가능성과 수를 짝지을 수 있어야 한다: 불가능 $=0$, 반반 $=\frac{1}{2}$, 확실 $=1$.

개요

수학에서 가장 자주 하는 일 하나가 “다음에 무엇이 올까?” 를 알아내는 것이다. 색깔 무늬가 반복되거나, 수가 일정하게 늘어나거나, 계산식이 나란히 놓여 있을 때 그 안에는 대개 규칙이 숨어 있다. 규칙을 찾으면 백 번째, 천 번째도 하나하나 세지 않고 알 수 있다.

한 걸음 더 나아가면 대응이다. 규칙 찾기가 “한 줄이 어떻게 변하는가”를 보는 것이라면, 대응은 두 양이 서로 어떻게 짝을 이루는가를 보는 것이다. 예를 들어 자동차 수가 늘면 바퀴 수도 함께 늘고, 그 둘 사이에는 “바퀴 = 자동차 × 4” 라는 관계가 있다. 이 관계를 식으로 쓰는 연습이 중학교에서 배울 함수의 출발점이다. 초등 1학년의 무늬 규칙부터 5학년의 대응 관계까지 하나의 이야기로 이어져 있다.

핵심 사실

• 반복되는 규칙: 🔴🔵🔴🔵… 처럼 한 덩어리가 되풀이된다. 되풀이되는 한 묶음의 길이를 먼저 찾는다. 묶음이 $2$ 개짜리면 홀수 번째와 짝수 번째가 각각 같은 것이 온다.
• 늘어나거나 줄어드는 규칙: $3, 6, 9, 12, \dots$ 는 $3$ 씩 커진다. 이웃한 두 수의 차를 구해 보면 규칙이 보인다. 차가 일정하면 “몇씩 뛰어 세기”다.
• 곱해지는 규칙도 있다. $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ 은 차가 일정하지 않지만 $2$ 배씩 커진다. 차로 안 보이면 몇 배인지를 본다.
• 계산식의 규칙: 나란히 놓인 식에서도 규칙을 읽는다. 아래 식들에서는 “홀수를 차례로 더하면 제곱수가 된다”는 규칙을 찾을 수 있다.

$$1 = 1^2,\quad 1 + 3 = 2^2,\quad 1 + 3 + 5 = 3^2$$

• 대응 관계: 두 양이 하나씩 짝을 이루는 관계다. 자동차가 $1, 2, 3, \dots$ 대일 때 바퀴는 $4, 8, 12, \dots$ 개이므로, 자동차 수를 $\square$, 바퀴 수를 $\triangle$ 라 하면

$$\triangle = \square \times 4$$

• 대응 관계를 식으로 쓰는 순서: ① 표로 정리한다 → ② 한쪽이 $1$ 커질 때 다른 쪽이 얼마나 커지는지 본다 → ③ 그 수를 곱해 보고, 모자라거나 남는 만큼 더하거나 뺀다.
• 예를 들어 $\square$ 가 $1, 2, 3$ 일 때 $\triangle$ 가 $3, 5, 7$ 이면, $2$ 씩 커지므로 먼저 $\square \times 2$ 를 놓는다. $\square = 1$ 일 때 $2$ 인데 실제로는 $3$ 이므로 $1$ 을 더해 $\triangle = \square \times 2 + 1$ 이다.
• 식을 세우면 묻지 않은 값도 바로 구한다. 위 식에서 $\square = 100$ 이면 $\triangle = 201$ 이다. 표를 $100$ 번째까지 늘려 쓸 필요가 없다.

비교표

	규칙 찾기	대응 관계
보는 것	한 줄이 어떻게 변하는가	두 양이 어떻게 짝을 이루는가
묻는 말	”다음에 올 것은?"	"$\square$ 가 $7$ 일 때 $\triangle$ 는?”
나타내는 법	말로 설명 ($3$ 씩 커진다)	식으로 ($\triangle = \square \times 3$)
배우는 때	초 1-2, 초 2-2, 초 4-1	초 5-1
이어지는 곳	중학교 규칙성·수열	중학교 함수

시험 포인트

• 차를 먼저 구한다. 이웃한 두 수의 차가 일정한지 확인하는 것이 규칙 찾기의 첫 수순이다. 차가 일정하지 않으면 그다음에 몇 배인지를 본다.
• 몇 번째인지 세는 기준을 맞춘다. 대부분 첫 번째가 $1$ 번이다. $0$ 번부터 세면 답이 한 칸씩 밀린다.
• 순서와 값을 헷갈리지 않는다. ”$5$ 번째 수는 얼마인가”와 ”$15$ 는 몇 번째인가”는 서로 반대 방향의 물음이다.
• 대응 관계 식을 세울 때는 어느 쪽이 기준인지 분명히 한다. $\triangle = \square \times 4$ 와 $\square = \triangle \times 4$ 는 완전히 다른 식이다. 표에서 한 줄을 골라 넣어 보면 바로 확인된다.
• 세운 식은 표의 값 두세 개에 모두 넣어 검산한다. 첫 줄만 맞고 둘째 줄이 틀리면 곱하는 수를 잘못 잡은 것이다.
• 무늬 문제에서 $50$ 번째, $100$ 번째를 물으면 한 묶음의 길이로 나눈 나머지를 이용한다. 묶음이 $3$ 개짜리일 때 $50 \div 3 = 16 \cdots 2$ 이므로 묶음의 두 번째 것과 같다.