수1 지수·로그와 수열

개요

Unit 3 식의 계산에서 우리는 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 같은 지수법칙을 배웠다. 그때의 지수는 “몇 번 곱했는가”를 세는 수, 곧 자연수였다. 그런데 지수가 꼭 자연수여야 할 이유는 없다. 만약 지수를 $0$, 음수, 나아가 유리수까지 넓히더라도 지금까지의 규칙이 깨지지 않도록 그 값을 정한다면, 우리는 훨씬 넓은 세계를 얻는다. 이 단원은 바로 그 확장의 이야기다. 새 규칙을 억지로 외우는 것이 아니라, 기존 지수법칙이 계속 성립하려면 이렇게 정할 수밖에 없다는 흐름을 따라가 보자.

핵심 사실

• 0 지수: $a^0 = 1$ (단, $a \neq 0$). $a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0$ 인데, 같은 수를 자기 자신으로 나누면 $1$ 이다. 지수법칙이 살아남으려면 $a^0 = 1$ 로 정할 수밖에 없다.
• 음수 지수: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. $a^0 = a^{n + (-n)} = a^n \times a^{-n}$ 이 $1$ 이 되어야 하므로, $a^{-n}$ 은 $a^n$ 의 역수가 된다.
• 거듭제곱근: $n$ 제곱해서 $a$ 가 되는 수를 $\sqrt[n]{a}$ 로 쓴다. 예컨대 $\sqrt[3]{8} = 2$ 는 세 번 곱해 $8$ 이 되는 수다. ($n = 2$ 일 때가 우리가 아는 근호 $\sqrt{a}$.)
• 유리수 지수: 분수 지수는 거듭제곱근으로 해석한다.

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \qquad (a > 0)$$

예: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$. 또는 순서를 바꿔 $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ 로 계산해도 같다. 세제곱근을 먼저 구하는 쪽이 대개 편하다.

• 규칙은 그대로: 이렇게 지수의 범위를 넓혀도 $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ 같은 지수법칙은 그대로 성립한다. 애초에 그 규칙이 깨지지 않도록 값을 정했기 때문이다.

비교표

지수의 범위	의미	예
자연수 $n$	밑을 $n$ 번 거듭 곱한 것	$2^3 = 8$
$0$	항상 $1$ ($a \neq 0$)	$2^0 = 1$
음수 $-n$	$a^n$ 의 역수	$2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
유리수 $\frac{m}{n}$	거듭제곱근 ($a > 0$)	$8^{\frac{2}{3}} = 4$

시험 포인트

• $a^0$ 은 $0$ 이 아니라 $1$ 이다. 지수가 $0$ 이라고 값이 $0$ 이 되는 것이 아니다.
• $a^{-n}$ 은 음수가 아니라 역수다. $2^{-3} = -8$ 이 아니라 $\dfrac{1}{8}$ 이다. 부호가 아니라 위아래가 뒤집힌다.
• $8^{\frac{2}{3}}$ 을 “8을 $\frac{2}{3}$ 번 곱한다”로 읽으면 안 된다. $\sqrt[3]{8^2}$ 처럼 세제곱근을 거쳐 계산한다.
• 유리수 지수 $a^{\frac{m}{n}}$ 은 $a > 0$ 조건에서 다룬다. 밑이 음수이면 홀짝에 따라 값이 없거나 복잡해지므로, 시험에서는 밑의 부호를 먼저 확인하자.

개요

01에서 우리는 $2^x$ 같은 거듭제곱을 지수가 유리수여도 자유롭게 계산할 수 있게 됐다. 이제 질문을 거꾸로 뒤집어 보자. ”$2$ 를 몇 제곱해야 $8$ 이 되는가?” 답은 $3$ 이다. 이렇게 “밑을 몇 제곱해야 그 수가 되는가”의 답을 하나의 기호로 적은 것이 바로 로그다. 지수를 알던 우리가 이제 지수를 거꾸로 묻는 셈이다.

핵심 사실

• 정의: 로그는 지수를 뒤집은 표기다.

$$a^x = N \iff x = \log_a N \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ N > 0)$$

즉 $2^3 = 8$ 과 $\log_2 8 = 3$ 은 같은 사실의 두 표기다. 지수와 로그는 한 사실을 앞에서 보느냐 뒤에서 보느냐의 차이일 뿐이다.

• 성질 3형제: 곱은 합으로, 몫은 차로, 거듭제곱은 배수로 내려온다.

$$\log_a xy = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad \log_a x^k = k \log_a x$$

• 특수값: $\log_a 1 = 0$ ($a^0 = 1$ 이므로), $\log_a a = 1$ ($a^1 = a$ 이므로).
• 밑변환 공식: 밑이 서로 다른 로그는 그대로 더하거나 비교할 수 없다. 원하는 밑 $c$ 로 통일해 준다.

$$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (a, b, c > 0,\ a \neq 1,\ c \neq 1)$$

분자에 진수, 분모에 밑이 온다. 여기서 $b = c$ 로 두면 $\log_a c = \dfrac{1}{\log_c a}$ 라는 뒤집기 관계도 따라 나온다.

• 상용로그: 밑이 $10$ 인 로그는 밑을 생략하고 $\log N$ 으로 쓴다. 자릿수를 다루는 데 쓰이는데, $\log N$ 의 정수 부분이 $n$ 이면 $N$ 은 $(n+1)$ 자리 수다. 예를 들어 $\log 3000 \approx 3.48$ 이므로 $3000$ 은 네 자리 수다.
• 성질의 출처는 지수법칙이다. 곱의 로그가 왜 로그의 합이 되는지 — 그 배경에는 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 이 있다. 아래 스테퍼로 한 단계씩 확인해 보자.

밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수를 더한다는 지수법칙에서 출발하면, 곱의 로그가 합이 되는 이유가 자연스럽게 드러납니다. 아래에서 한 단계씩 따라가 보세요.

$$x=a^m,y=a^n$$

m = logₐx, n = logₐy 라 두면 로그의 정의로 x, y를 이렇게 쓸 수 있다.

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1 / 4 단계

비교표

지수 표기	로그 표기	읽는 법
$2^3 = 8$	$\log_2 8 = 3$	2를 3제곱하면 8
$10^2 = 100$	$\log_{10} 100 = 2$	10을 2제곱하면 100
$a^0 = 1$	$\log_a 1 = 0$	무엇이든 0제곱은 1

시험 포인트

• $\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y$ 다. 합의 로그는 쪼개지지 않는다. 성질이 성립하는 것은 곱의 로그($\log_a xy$)일 때뿐이다. 가장 흔한 실수이니 곱인지 합인지를 먼저 확인하자.
• 밑 조건 $a > 0,\ a \neq 1$ 과 진수 조건 $N > 0$ 을 항상 확인한다. 진수가 $0$ 이하이면 로그 자체가 정의되지 않는다.
• $\log_a x^k = k \log_a x$ 에서 지수 $k$ 는 로그 앞으로 내려온다. $\log_a x^2$ 을 $(\log_a x)^2$ 과 혼동하지 말자 — 앞의 것은 $2\log_a x$ 다.
• 밑변환 공식은 분자·분모를 뒤집기 쉽다. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ 에서 위가 진수, 아래가 밑이다. 헷갈리면 $\log_2 8$ 로 검산해 보자 — $\dfrac{\log 8}{\log 2} = 3$ 이 나와야 맞다.
• 밑이 다른 로그끼리는 성질 3형제를 쓸 수 없다. $\log_2 3 + \log_3 5$ 같은 식은 그대로 합칠 수 없고, 먼저 밑변환으로 통일해야 한다.

개요

지수와 로그를 함수로 바라보면 새로운 세계가 열린다. $y=2^x$ 처럼 지수 자리에 변수가 오는 함수는 폭발적으로 커지거나 잦아드는 변화를 나타내고, 로그함수는 그 반대 방향을 담당한다. 특히 지수함수와 로그함수는 서로 역함수여서, 한쪽의 성질을 알면 다른 쪽이 저절로 따라온다.

핵심 사실

• 지수함수 $y=a^x$ ($a>0,\ a\neq 1$): 정의역은 모든 실수, 치역은 $y>0$. 그래프는 점 $(0,1)$ 을 반드시 지난다.
  • $a>1$ 이면 증가, $0<a<1$ 이면 감소. $x$ 축($y=0$)이 점근선이다.
• 로그함수 $y=\log_a x$: 지수함수 $y=a^x$ 의 역함수. 정의역은 $x>0$, 치역은 모든 실수. 그래프는 점 $(1,0)$ 을 지난다.
  • $a>1$ 이면 증가, $0<a<1$ 이면 감소. $y$ 축($x=0$)이 점근선이다.
• 역함수 관계: 두 그래프는 직선 $y=x$ 에 대해 대칭이다.

$$y=a^x \iff x=\log_a y$$

• 대소 비교: 밑 $a>1$ 이면 지수(또는 진수)가 클수록 값이 크고, $0<a<1$ 이면 그 반대다.

비교표

함수	정의역	치역	지나는 점	점근선
$y=a^x$	모든 실수	$y>0$	$(0,1)$	$x$ 축
$y=\log_a x$	$x>0$	모든 실수	$(1,0)$	$y$ 축

시험 포인트

• 지수함수와 로그함수는 정의역·치역이 서로 뒤바뀐다 — 역함수이기 때문이다.
• 밑이 $1$ 보다 작으면($0<a<1$) 그래프가 감소한다. 대소 비교에서 부등호 방향이 뒤집히므로 주의한다.
• 지수·로그 방정식·부등식은 밑을 같게 맞춘 뒤 지수(또는 진수)를 비교한다. 로그에서는 진수 조건 $x>0$ 을 반드시 확인한다.

개요

03에서 지수함수 $y=a^x$ 와 로그함수 $y=\log_a x$ 가 밑 $a$ 에 따라 증가하거나 감소한다는 것, 그리고 두 함수가 서로 역함수 관계라는 것을 확인했다. 이 성질은 이제 방정식과 부등식을 푸는 도구가 된다. 지수방정식은 밑을 같게 맞추면 지수끼리 비교하는 문제로 바뀌고, 때로는 $a^x$ 를 문자 $t$ 로 치환해 이차방정식으로 바꿔 푼다. 로그방정식은 로그를 지우는 순간 진수·밑 조건을 잃어버리기 쉬운 것이 관건이고, 부등식에서는 밑이 $0<a<1$ 이면 함수가 감소한다는 사실이 부등호 방향을 뒤집는 것으로 이어진다.

이번 소단원은 계산 자체보다 조건을 놓치는 지점에 초점을 맞춘다. 지수·로그 방정식·부등식은 풀이 과정은 단순한데, 마지막에 조건 확인을 빠뜨려 틀리는 문제가 시험에 압도적으로 많기 때문이다.

핵심 사실

• 지수방정식 — 밑을 같게: 밑이 같은 두 지수식이 같으면 지수도 같다.

$$a^x = a^y \iff x = y \qquad (a>0,\ a\neq 1)$$

밑이 다르게 주어져도 소인수분해 등으로 같은 밑으로 고칠 수 있으면 이 형태로 바꿔 푼다.

• 치환형 지수방정식: $a^{2x}, a^x$ 이 함께 나오면 $t=a^x$ 로 치환해 다항방정식으로 바꾼다. 이때 $t>0$ 이라는 범위를 반드시 같이 적어 둔다. 치환한 이차방정식의 해 중 $t\le 0$ 인 것은 원래의 지수식으로 되돌릴 수 없으므로 버린다.
• 로그방정식 — 조건이 먼저다: 로그를 지우기 전에 진수 조건(진수 $>0$)과, 밑에 미지수가 있다면 밑 조건($\text{밑}>0,\ \text{밑}\neq 1$)을 먼저 적어 둔다. 로그를 지우고 나면 이 조건은 식에서 사라져 보이지만, 방정식을 풀어 나온 해가 이 조건을 만족하는지는 끝에 반드시 대조해야 한다.

$$\log_a x = \log_a y \iff x=y \qquad (a>0,\ a\neq 1,\ x>0,\ y>0)$$

• 지수부등식: 밑을 같게 맞춘 뒤, $a>1$ 이면 부등호 방향을 그대로 두고 지수를 비교하고, $0<a<1$ 이면 부등호 방향을 뒤집어 지수를 비교한다. 밑이 감소함수를 만들기 때문이다.
• 로그부등식: 마찬가지로 진수 조건부터 확인한 뒤, $a>1$ 이면 부등호를 그대로 두고 진수를 비교하고, $0<a<1$ 이면 부등호를 뒤집어 진수를 비교한다. 최종 답은 이렇게 구한 범위와 진수 조건(정의역)의 교집합이다.

비교표

밑 조건	지수부등식 ($a^{x_1}$ 과 $a^{x_2}$ 비교)	로그부등식 ($\log_a x_1$ 과 $\log_a x_2$ 비교)
$a>1$	$a^{x_1}<a^{x_2} \iff x_1<x_2$ (부등호 그대로)	$\log_a x_1 < \log_a x_2 \iff x_1<x_2$ (부등호 그대로)
$0<a<1$	$a^{x_1}<a^{x_2} \iff x_1>x_2$ (부등호 뒤집힘)	$\log_a x_1 < \log_a x_2 \iff x_1>x_2$ (부등호 뒤집힘)

시험 포인트

• 로그방정식·부등식은 로그를 지우는 순간 진수 조건이 식에서 사라져 보인다는 것이 함정이다. 진수 조건을 먼저 적어 두고, 마지막에 구한 해를 그 조건과 대조해야만 무연근을 걸러낼 수 있다. 진수 조건을 확인하지 않아 정답에 무연근을 포함시키는 것이 이 단원에서 가장 흔한 실수다.
• 밑이 $0<a<1$ 이면 지수함수·로그함수 모두 감소하므로 부등호 방향이 뒤집힌다. 밑을 $\dfrac12,\ \dfrac13$ 처럼 분수로 주면 이 사실을 놓치고 $a>1$ 일 때와 똑같이 부등호를 그대로 두는 실수가 잦다. 부등식을 풀기 전에 밑이 $1$ 보다 큰지 작은지부터 확인하는 습관을 들이자.
• $a^x=t$ 로 치환할 때 $t>0$ 이라는 범위를 적어 두지 않으면, 이차방정식에서 나온 음수 해를 걸러내지 못하고 그대로 답에 포함시키게 된다.
• 미지수가 밑 자리에 있는 문제(예: $\log_x 4=2$)라면 진수 조건뿐 아니라 밑 조건 $x>0,\ x\neq1$ 도 따로 확인해야 한다. 진수 조건만 챙기고 밑 조건을 빠뜨리는 실수도 흔하다.
• 로그부등식의 최종 답은 “부등식을 풀어 나온 범위”와 “진수 조건으로 정한 정의역”의 교집합이어야 한다. 둘 중 하나만 답으로 내면 정의역 밖의 구간이 섞여 들어가거나, 범위가 필요 이상으로 좁아진다.

개요

함수가 “연속으로 매끄럽게 변하는 양”이었다면, 수열은 “한 칸씩 뛰며 차례로 나열되는 수”다. $a_1, a_2, a_3, \dots$ 처럼 번호를 붙여 늘어놓은 수의 행렬이다. 규칙이 있는 수열은 무수히 많지만, 이 단원은 가장 단순한 두 가지 — 일정하게 더하는 등차수열과 일정하게 곱하는 등비수열 — 을 다룬다. 일반항과 합 공식을 외우기만 하는 것이 아니라, 그 공식이 어디서 나오는지 유도까지 통째로 익힌다.

핵심 사실

• 등차수열: 첫째항 $a_1$, 매번 일정하게 더하는 값(공차) $d$ 로 정해진다. 제 $n$ 항까지 공차를 $(n-1)$ 번 더하므로 일반항은

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

• 등차수열의 합: 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합은

$$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

같은 합을 거꾸로 써서 나란히 더하는 가우스의 짝짓기 아이디어에서 나온다. 어린 가우스가 $1$ 부터 $100$ 까지의 합을 순식간에 $5050$ 으로 구했다는 일화가 바로 이것이다. (수학 인물 코너의 가우스 이야기와 이어진다.)

• 등비수열: 첫째항 $a$, 매번 일정하게 곱하는 값(공비) $r$ 로 정해진다. 제 $n$ 항까지 공비를 $(n-1)$ 번 곱하므로 일반항은

$$a_n = ar^{n-1}$$

• 등비수열의 합: $r \neq 1$ 일 때

$$S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1} \qquad (r \neq 1)$$

양변에 공비 $r$ 을 곱한 식과 원래 식을 빼면 가운데 항이 몽땅 상쇄되는 아이디어에서 나온다.

아래 스테퍼에서 두 합 공식의 유도를 프리셋으로 전환하며 확인해 보세요. 등차수열의 합은 거꾸로 더해 짝짓고, 등비수열의 합은 $r$ 을 곱해 빼는 — 서로 다른 두 아이디어를 나란히 놓고 비교할 수 있습니다.

등차수열의 합 유도등비수열의 합 유도

$$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$$

첫째항부터 n번째 항까지의 합.

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1 / 5 단계

공식을 보기 전에 두 수열이 어떻게 다르게 자라는지부터 눈에 담아 두면 좋습니다. 아래에서 등차와 등비를 번갈아 눌러 보세요 — 등차는 점들이 직선 위에 놓이고(그래서 일반항이 일차식입니다), 등비는 곡선을 그립니다. 공차와 공비를 음수로 밀면 위아래로 오르내리는 모습도 볼 수 있습니다.

등차 2, 5, 8, …등비 2, 4, 8, …

등차수열 등비수열

항 aₙ 부분합 Sₙ

첫째항 a = 2 공차 d = 3 항의 개수 n = 8

2,5,8,11,14,17,20,23

항이 일정하게 3 씩 더해져 점들이 직선 위에 놓인다 — 등차수열의 일반항이 일차식인 이유다.

비교표

구분	등차수열	등비수열
규칙	일정하게 더한다 (공차 $d$)	일정하게 곱한다 (공비 $r$)
일반항	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$a_n = ar^{n-1}$
합 공식	$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$	$S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$
예시 수열	$3, 7, 11, 15, \dots$	$2, 6, 18, 54, \dots$

시험 포인트

• 일반항의 $(n-1)$ 에 주의한다. 제 $n$ 항까지 오는 동안 간격은 $n-1$ 개이므로, $n$ 이 아니라 $(n-1)$ 을 곱하거나 거듭제곱한다.
• 등비수열의 합 공식은 $r \neq 1$ 조건에서만 쓴다. $r = 1$ 이면 모든 항이 $a$ 로 같으므로 $S_n = na$ 다.
• 등차수열의 합은 (첫항 + 끝항) × 항수 ÷ 2 로 기억하면 빠르다. 사다리꼴 넓이와 같은 꼴이다.
• 공비가 분수($r = \frac{1}{2}$ 등)여도 합 공식은 그대로 성립한다. $r \neq 1$ 이기만 하면 된다.

개요

05에서 등차수열과 등비수열의 합 공식을 유도까지 익혔다. 그런데 실제 문제에는 이보다 훨씬 다양한 합이 나온다 — $1^2+2^2+\cdots+10^2$ 처럼 각 항에 규칙은 있지만 등차도 등비도 아닌 합, 또는 $\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots$ 처럼 분수가 줄줄이 늘어선 합이다. 이런 합을 매번 $\cdots$ 으로 늘어놓지 않고 기호 하나로 정확하게 적는 방법이 **시그마($\sum$)**다.

이 소단원에서는 시그마 기호를 읽고 쓰는 법, 시그마가 가진 성질(무엇이 분리되고 무엇이 분리되지 않는지), 그리고 $1, 2, \dots, n$ 의 거듭제곱을 더한 값을 즉시 구해 주는 세 공식 $\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$ 을 익힌다. 마지막으로 분수의 합을 부분분수로 쪼개 항을 통째로 지워 버리는 소거(망원급수) 기법까지 다룬다. 다음 소단원(수학적 귀납법)에서 이 공식들을 엄밀하게 증명하는 법을 배우니, 여기서는 공식을 정확히 쓰고 적용하는 데 집중한다.

핵심 사실

• 시그마 기호의 뜻: $\sum_{k=1}^{n} a_k$ 는 ”$k$ 에 $1$ 부터 $n$ 까지 차례로 대입해 $a_k$ 를 전부 더하라”는 명령을 줄인 기호다.

$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$

$k$ 는 그저 대입해 나갈 자리를 가리키는 이름일 뿐이라 $i$, $m$ 등 다른 문자로 바꿔도 같은 값이다.

• 분리되는 것과 안 되는 것: 합과 상수배는 시그마 밖으로 분리할 수 있지만, 곱은 분리되지 않는다.

$$\sum_{k=1}^n (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k, \qquad \sum_{k=1}^n c\,a_k = c\sum_{k=1}^n a_k$$

그러나 $\sum_{k=1}^n a_k b_k \neq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\!\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)$ 다. 곱해진 항은 먼저 전개해서 각 항의 합으로 바꾼 다음에야 시그마를 쪼갤 수 있다.

• 상수의 합: $\sum_{k=1}^n c$ 는 $c$ 를 $n$ 번 더한 것이므로 $\sum_{k=1}^n c = nc$ 다. 상수라고 해서 그대로 $c$ 가 되는 것이 아니다.
• 자연수 거듭제곱의 합 공식 — 이 세 개만 있으면 대부분의 합 문제는 대입으로 끝난다.

$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$

첫 번째 공식은 사실 새로운 것이 아니다. $1+2+\cdots+n$ 은 첫째항 $1$, 공차 $1$ 인 등차수열의 합이므로 05에서 배운 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ 에 그대로 대입한 것과 같다. 눈여겨볼 점은 $\sum k^3$ 이 $\left(\sum k\right)^2$ 과 같다는 것 — 세제곱의 합이 첫제곱의 합의 제곱과 값이 겹치는 유일한 경우다.

• 시작이 $k=1$ 이 아닐 때는 항수를 다시 세야 한다. $\sum_{k=3}^{10} k^2$ 은 $8$ 개 항이지 $10$ 개가 아니다. $\sum_{k=1}^{10}k^2$ 에서 앞에 빠진 $\sum_{k=1}^{2}k^2$ 을 빼서 구한다.
• 부분분수로 쪼개면 항이 사라진다(망원급수). 일반항을 $b_k - b_{k+1}$ 꼴로 바꾸면, 풀어 나열했을 때 이웃한 항끼리 부호만 반대로 겹쳐 가운데가 모두 소거되고 맨 앞과 맨 뒤만 남는다.

아래에서 $\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$ 을 부분분수로 쪼개는 과정을 한 단계씩 눌러 보세요. 세 번째 단계에서 가운데 항들이 통째로 사라지는 장면이 이 기법의 전부입니다.

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

분모가 연속한 두 자연수의 곱이면 이렇게 두 분수의 차로 쪼갤 수 있다. 소거는 이 모양에서 시작된다.

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1 / 4 단계

비교표

합	공식	분모
$\sum k$	$\dfrac{n(n+1)}{2}$	$2$
$\sum k^2$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	$6$
$\sum k^3$	$\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$	제곱한 분모 $4$

연산	시그마 밖으로 분리되는가
합 $\sum(a_k+b_k)$	된다 — $\sum a_k+\sum b_k$
상수배 $\sum c\,a_k$	된다 — $c\sum a_k$
곱 $\sum a_k b_k$	안 된다 — 먼저 전개해야 한다
상수 $\sum_{k=1}^n c$	$c$ 가 아니라 $nc$

시험 포인트

• $\sum a_k b_k$ 를 $\left(\sum a_k\right)\!\left(\sum b_k\right)$ 로 쪼개는 실수가 가장 잦다. 곱은 시그마 밖으로 분리할 수 없다. $k(k+1)$ 처럼 곱 꼴이면 먼저 $k^2+k$ 로 전개한 뒤 $\sum k^2 + \sum k$ 로 쪼개야 한다.
• $\sum_{k=1}^n c$ 를 $c$ 로 쓰는 실수. 상수 하나가 아니라 그 상수를 $n$ 번 더한 $nc$ 다.
• 시작이 $k=1$ 이 아닐 때 항수를 잘못 센다. $\sum_{k=3}^{10}$ 은 $8$ 개 항인데, $10$ 개인 것처럼 공식에 $n=10$ 을 넣거나 반대로 $\sum_{k=1}^{8}k^2$ 공식을 그대로 쓰는 것도 틀렸다 — 실제 항은 $3^2,\dots,10^2$ 이지 $1^2,\dots,8^2$ 이 아니다.
• $\sum k^2$ 공식의 분모 $6$ 을 $2$ 로 쓰는 실수. $\sum k$ 의 분모 $2$ 와 헷갈려서 벌어진다. 세 공식의 분모가 각각 $2, 6, 4$ 임을 표로 따로 기억해 둔다.
• 망원급수에서 몇 개가 안 지워진 것처럼 잘못 나열하는 실수. 항을 서너 개만 직접 풀어 써 보면 가운데가 정확히 짝지어 사라지는 것이 눈으로 확인된다.

개요

“모든 자연수 $n$ 에서 성립한다”를 어떻게 증명할까? 자연수는 무한히 많으니 하나씩 확인할 수는 없다. 수학적 귀납법은 도미노처럼 생각한다 — 첫 번째가 넘어지고, 어느 하나가 넘어지면 반드시 다음도 넘어진다면, 결국 모두 넘어진다. 수열의 일반항이나 합의 공식을 증명하는 강력한 도구다.

핵심 사실

• 수학적 귀납법의 두 단계: 자연수 $n$ 에 대한 명제 $p(n)$ 이 모든 자연수에서 참임을 보이려면,
  • (1) 출발: $n=1$ 일 때 $p(1)$ 이 참임을 보인다.
  • (2) 계승: $n=k$ 일 때 $p(k)$ 가 참이라고 가정하면, $n=k+1$ 일 때 $p(k+1)$ 도 참임을 보인다.
• 두 단계가 모두 성립하면 $p(n)$ 은 모든 자연수 $n$ 에서 참이다.
• 핵심 아이디어: (2)에서 $p(k)$ 가 참이라는 가정을 실제로 사용해 $p(k+1)$ 을 이끌어내는 것이 관건이다.

$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

위 같은 합의 공식을 귀납법으로 증명할 때, $n=k$ 까지의 합에 $(k+1)$ 을 더해 $n=k+1$ 꼴을 만든다.

비교표

단계	하는 일
출발 ($n=1$)	명제가 처음에 성립함을 확인
가정 ($n=k$)	$p(k)$ 가 참이라고 둔다
계승 ($n=k+1$)	가정을 써서 $p(k+1)$ 을 이끌어냄

시험 포인트

• 두 단계 모두 반드시 보여야 한다 — $n=1$ 확인만 하거나 계승만 보이면 증명이 아니다.
• 계승 단계에서 $p(k)$ 가정을 쓰지 않으면 귀납법이 아니다. 가정을 어디서 썼는지가 채점 포인트다.
• 출발점이 꼭 $n=1$ 일 필요는 없다 — $n=2$ 부터 성립하는 명제는 $n=2$ 에서 출발한다.