기하

개요

원뿔을 평면으로 자르면 자르는 각도에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 차례로 나온다. 그래서 이 네 곡선을 묶어 원뿔곡선 또는 이차곡선이라 부른다. 식으로 보면 모두 $x$ 와 $y$ 에 대한 이차식이라는 공통점이 있다.

공통수학2에서 원을 “한 점에서 같은 거리에 있는 점의 모임”으로 정의했듯, 이차곡선도 전부 거리 조건으로 정의된다. 어떤 거리를 어떻게 묶느냐만 다를 뿐이다. 정의를 외우지 말고 “무엇과 무엇의 거리를 어떻게 했는가”로 기억하면 세 곡선이 한 이야기로 정리된다.

행성의 궤도(타원), 위성 안테나의 단면(포물선), 원자핵 산란 실험의 경로(쌍곡선)처럼 자연과 기술 곳곳에 이 곡선들이 나타난다.

핵심 사실

• 포물선: 한 점(초점 $F$)과 한 직선(준선)에서 같은 거리에 있는 점의 모임이다. 초점이 $(p, 0)$, 준선이 $x = -p$ 이면

$$y^2 = 4px$$

• 축이 $x$ 축이면 $y^2 = 4px$, $y$ 축이면 $x^2 = 4py$ 다. 제곱이 붙지 않은 문자 쪽이 축의 방향이다.
• 타원: 두 초점 $F, F'$ 에서의 거리의 합이 일정한 점의 모임이다. 그 합을 $2a$ 라 하면

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad a^2 = b^2 + c^2 \ \ (a > b)$$

• 이때 초점은 긴 축 위의 $(\pm c, 0)$ 이고, 거리의 합은 긴 지름 $2a$ 와 같다.
• 쌍곡선: 두 초점에서의 거리의 차의 절댓값이 일정한 점의 모임이다. 그 차를 $2a$ 라 하면

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad c^2 = a^2 + b^2$$

• 쌍곡선의 점근선은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ 이며, 곡선이 무한히 뻗어 나가며 이 두 직선에 한없이 가까워진다.
• 평행이동: $x$ 대신 $x - m$, $y$ 대신 $y - n$ 을 넣으면 중심(또는 꼭짓점)이 $(m, n)$ 으로 옮겨 간다. 도형의 이동에서 쓰던 규칙 그대로다.
• 접선: 이차곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$ 에서의 접선은 원의 접선과 같은 방식으로 얻는다. 타원이면 $\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$ 이다.
• 반사 성질: 포물선은 축에 나란히 들어온 빛을 모두 초점으로 모으고, 타원은 한 초점에서 나온 빛이 반드시 다른 초점을 지난다. 접시 안테나와 속삭임의 회랑이 이 성질을 쓴다.

비교표

	정의(거리 조건)	표준형	초점 관계
포물선	초점과 준선까지 같은 거리	$y^2 = 4px$	초점 $(p,0)$, 준선 $x=-p$
타원	두 초점까지 거리의 합이 일정	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$a^2 = b^2 + c^2$
쌍곡선	두 초점까지 거리의 차가 일정	$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$	$c^2 = a^2 + b^2$

시험 포인트

• 타원과 쌍곡선의 초점 관계식을 뒤바꾸지 않는다. 타원은 $a^2 = b^2 + c^2$(가장 큰 것이 $a$), 쌍곡선은 $c^2 = a^2 + b^2$(가장 큰 것이 $c$)다. 그림에서 초점이 곡선 안쪽인지 바깥쪽인지로 확인한다.
• 부호로 종류를 먼저 판정한다. $x^2$ 항과 $y^2$ 항의 부호가 같으면 타원, 다르면 쌍곡선, 한쪽이 없으면 포물선이다.
• 정의로 돌아가면 풀리는 문제가 많다. “초점까지의 거리의 합”이나 “준선까지의 거리”를 묻는 문제는 표준형을 쓰지 않고 정의만으로 답이 나온다.
• 점근선은 쌍곡선에만 있다. 기울기가 $\pm\frac{b}{a}$ 이므로 점근선이 주어지면 $a$ 와 $b$ 의 비를 바로 알 수 있다.
• 평행이동된 식은 완전제곱으로 정리한 뒤 중심을 읽는다. 정리하기 전 계수만 보고 초점을 구하면 틀린다.

개요

“3km 갔다”와 “북쪽으로 3km 갔다”는 다르다. 앞은 크기만 있고, 뒤는 방향까지 있다. 크기만 있는 양을 스칼라, 크기와 방향을 함께 지닌 양을 벡터라 한다. 힘·속도·이동은 모두 벡터다.

벡터는 화살표로 나타내며, 길이가 크기, 화살표 방향이 방향이다. 여기서 중요한 약속이 하나 있다 — 시작점이 어디든 길이와 방향이 같으면 같은 벡터로 본다. 그래서 벡터를 자유롭게 평행이동해 이어 붙일 수 있고, 이것이 벡터 계산을 간단하게 만든다.

이 소단원에서는 벡터를 더하고 실수배하는 법, 그리고 기준점을 정해 점을 벡터로 나타내는 위치벡터를 다룬다. 다음 소단원의 성분과 내적은 모두 이 위에서 계산된다.

핵심 사실

• 벡터의 표기: 시작점 $\mathrm{A}$, 끝점 $\mathrm{B}$ 인 벡터를 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 로 쓰고, 그 크기를 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ 로 쓴다. 크기가 $0$ 인 벡터는 영벡터 $\vec{0}$ 이며 방향을 생각하지 않는다.
• 같은 벡터: 크기와 방향이 같으면 위치가 달라도 같은 벡터다. 반대벡터 $-\vec{a}$ 는 크기가 같고 방향이 반대인 벡터다.
• 덧셈 — 삼각형법: $\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 처럼 앞 벡터의 끝에 뒤 벡터의 시작을 붙인다. 평행사변형법으로 보면 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 합이다.
• 뺄셈은 반대벡터를 더하는 것이다.

$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}),\qquad \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}$$

• 실수배: $k\vec{a}$ 는 크기가 $|k||\vec{a}|$ 이고, $k > 0$ 이면 방향이 같고 $k < 0$ 이면 반대다.
• 평행 조건: 두 벡터가 평행하다는 것은 한쪽이 다른 쪽의 실수배라는 뜻이다.

$$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{b} = k\vec{a}\ \ (k \ne 0)$$

• 위치벡터: 기준점 $\mathrm{O}$ 를 정하면 점 $\mathrm{P}$ 를 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 로 나타낼 수 있다. 이때 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 의 위치벡터를 $\vec{a}, \vec{b}$ 라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ 다.
• 내분점의 위치벡터: 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $m : n$ 으로 내분하는 점 $\mathrm{P}$ 는

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

• 중점은 $m = n$ 인 경우이므로 $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ 이고, 삼각형의 무게중심은 $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ 다.
• 한 직선 위에 있을 조건: 세 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 가 한 직선 위에 있으려면 $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 인 실수 $k$ 가 있어야 한다.

비교표

	스칼라	벡터
가진 것	크기만	크기 + 방향
예	길이, 넓이, 시간, 속력	힘, 속도, 변위
같다는 뜻	값이 같다	크기와 방향이 같다(위치 무관)

연산	그림으로	식으로
덧셈	화살표를 이어 붙임	$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
뺄셈	끝점에서 시작점을 뺌	$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$
실수배	길이를 늘이거나 뒤집음	$k\vec{a}$

시험 포인트

• $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ — 끝점에서 시작점을 뺀다. 순서를 뒤집으면 반대 방향 벡터가 되므로 부호가 통째로 달라진다.
• 크기와 벡터를 구분한다. $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ 는 두 벡터가 같은 방향일 때만 성립한다. 일반적으로는 $\le$ 다(삼각부등식).
• 내분점 공식에서 $m$ 과 $n$ 의 자리를 조심한다. $m : n$ 으로 내분하면 먼 쪽 비가 앞 벡터에 곱해진다. $m = n$ 을 넣어 중점이 나오는지로 검산한다.
• 평행 조건은 실수배다. “평행하다”를 보면 곧바로 $\vec{b} = k\vec{a}$ 로 놓고 미지수 $k$ 를 도입한다.
• 영벡터의 방향은 생각하지 않는다. $\vec{a} \parallel \vec{b}$ 를 쓸 때 두 벡터가 영벡터가 아니라는 조건을 확인한다.

개요

앞 소단원의 벡터는 화살표 그림으로 다뤘다. 그림은 뜻을 이해하는 데는 좋지만 계산에는 불편하다. 데카르트가 도형을 좌표로 옮겼듯, 벡터도 좌표평면 위에 놓으면 두 수의 짝이 된다. 그러면 덧셈과 실수배가 성분끼리의 사칙연산이 되어 계산이 단순해진다.

여기서 새로운 연산이 하나 등장한다. 내적이다. 벡터끼리 곱했는데 결과가 벡터가 아니라 **하나의 수(스칼라)**로 나온다는 점이 낯설지만, 이 수 하나에 두 벡터가 이루는 각의 정보가 담겨 있다. 특히 내적이 $0$ 이면 두 벡터는 수직이며, 수직 조건을 계산으로 확인할 수 있다는 것이 내적의 가장 큰 쓸모다.

핵심 사실

• 성분 표시: 벡터 $\vec{a}$ 의 시작점을 원점으로 옮겼을 때 끝점의 좌표가 $(a_1, a_2)$ 이면 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 로 쓴다. 크기는 피타고라스 정리로 구한다.

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$

• 성분의 연산: 덧셈·뺄셈·실수배는 모두 성분끼리 한다.

$$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1,\ a_2 \pm b_2),\qquad k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)$$

• 두 점으로 나타낸 벡터: $\mathrm{A}(x_1, y_1)$, $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ 일 때 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ 이다.
• 내적의 정의: 두 벡터가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$

• 성분으로 계산하면 훨씬 간단하다. 두 정의가 같은 값을 준다는 것이 이 소단원의 핵심 도구다.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$

• 각을 구하는 식: 위 두 식을 연결하면 두 벡터가 이루는 각이 나온다.

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

• 수직 조건: $\theta = 90°$ 이면 $\cos\theta = 0$ 이므로

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

• 자기 자신과의 내적은 크기의 제곱이다. $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ 이며, 이 성질이 크기를 다루는 계산의 출발점이다.
• 내적의 성질: 교환법칙 $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ 와 분배법칙 $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$ 가 성립한다. 다만 결합법칙은 뜻을 갖지 않는다 — $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ 에서 앞은 이미 수이기 때문이다.
• 크기 계산의 요령: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$ 로 펼치면 내적만 알면 크기를 구할 수 있다. 곱셈 공식과 모양이 같다.

비교표

	성분 표시	내적
결과	벡터 $(a_1, a_2)$	수 하나
계산	성분끼리 더하고 곱함	$a_1b_1 + a_2b_2$
알려 주는 것	위치와 크기	두 벡터가 이루는 각

$\vec{a}\cdot\vec{b}$ 의 부호	두 벡터의 각
양수	예각 ($0° \le \theta < 90°$)
$0$	직각 — 수직
음수	둔각 ($90° < \theta \le 180°$)

시험 포인트

• 내적의 결과는 벡터가 아니라 수다. $\vec{a}\cdot\vec{b}$ 에 화살표를 붙여 쓰면 안 되고, 그 값에 다시 내적을 취할 수도 없다.
• 수직이면 내적이 $0$ — 기하 문제에서 “수직”, “직각”, “垂足” 같은 말이 보이면 곧바로 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ 을 세운다.
• $\cos\theta$ 의 분모를 빠뜨리지 않는다. 각을 구할 때 내적만 계산하고 두 벡터의 크기로 나누는 것을 잊는 실수가 잦다.
• 부호로 예각·둔각을 판정할 수 있다. 각을 직접 구하지 않고 내적의 부호만 보면 되는 문제가 많다.
• 크기는 제곱해서 다룬다. $|\vec{a}+\vec{b}|$ 를 그대로 계산하려 하지 말고 양변을 제곱해 내적으로 바꾼다.
• 성분으로 바꿀 수 있으면 바꾼다. 좌표가 주어진 문제라면 그림으로 씨름하는 것보다 성분 계산이 거의 항상 빠르다.

개요

공통수학2에서 직선과 원의 방정식을 좌표로 다뤘다. 여기서는 같은 도형을 벡터로 나타낸다. 굳이 다시 쓰는 이유는 두 가지다.

첫째, 벡터로 쓰면 도형의 뜻이 그대로 드러난다. 직선은 “한 점을 지나 한 방향으로 뻗어 나간 것”이고, 원은 “한 점에서 같은 거리에 있는 점의 모임”인데, 벡터 식이 이 문장을 거의 그대로 옮긴 모양이다.

둘째, 이 표현은 공간에서도 그대로 쓸 수 있다. 평면의 직선 방정식 $y = mx + n$ 은 공간에서는 통하지 않지만, 벡터 식은 성분을 하나 늘리기만 하면 된다. 다음 소단원의 공간도형이 이 표현 위에서 다뤄진다.

핵심 사실

• 직선의 벡터방정식: 점 $\mathrm{A}(\vec{a})$ 를 지나고 방향벡터가 $\vec{u}$ 인 직선 위의 점 $\mathrm{P}(\vec{p})$ 는

$$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{u} \qquad (t \text{는 실수})$$

• 방향벡터는 직선이 뻗어 나가는 방향을 나타내는 벡터이며, 실수배해도 같은 직선을 나타낸다. $t$ 를 움직이면 점이 직선을 따라 이동한다.
• 성분으로 쓰면 매개변수 방정식이 된다. $\vec{a} = (x_1, y_1)$, $\vec{u} = (u_1, u_2)$ 이면 $x = x_1 + tu_1,\ y = y_1 + tu_2$ 이고, $t$ 를 소거하면 익숙한 직선의 방정식이 나온다.
• 두 점을 지나는 직선은 방향벡터로 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ 를 쓰면 된다.

$$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$$

• 법선벡터를 이용한 직선: 직선에 수직인 벡터 $\vec{n}$ 을 법선벡터라 한다. 직선 위의 점과 $\mathrm{A}$ 를 잇는 벡터는 $\vec{n}$ 과 수직이므로

$$\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$$

• 직선 $ax + by + c = 0$ 의 법선벡터는 $(a, b)$ 이고 방향벡터는 $(b, -a)$ 다. 계수가 곧 법선벡터라는 점이 요긴하다.
• 두 직선이 이루는 각은 방향벡터끼리(또는 법선벡터끼리)의 내적으로 구한다. 평행이면 두 방향벡터가 실수배 관계, 수직이면 내적이 $0$ 이다.
• 원의 벡터방정식: 중심 $\mathrm{C}(\vec{c})$, 반지름 $r$ 인 원은 중심까지의 거리가 일정하다는 조건 그대로다.

$$|\vec{p} - \vec{c}| = r$$

• 지름의 양 끝이 주어진 원: 두 끝점을 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 라 하면 지름에 대한 원주각이 직각이므로

$$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$$

비교표

도형	벡터로	뜻
직선(방향벡터)	$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{u}$	한 점에서 한 방향으로 뻗음
직선(법선벡터)	$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a}) = 0$	법선벡터와 수직
두 점을 지나는 직선	$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$	$t=0$ 이면 A, $t=1$ 이면 B
원	$\|\vec{p}-\vec{c}\| = r$	중심까지 거리가 일정
지름이 $\mathrm{AB}$ 인 원	$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$	원주각이 직각

시험 포인트

• 방향벡터와 법선벡터를 뒤바꾸지 않는다. $ax+by+c=0$ 에서 계수 $(a,b)$ 는 법선이고 방향은 $(b,-a)$ 다. 어느 쪽으로 내적을 취해야 하는지 문제마다 확인한다.
• 방향벡터는 실수배해도 같은 직선이다. $(2,4)$ 와 $(1,2)$ 는 같은 방향이므로 답이 달라 보여도 같은 직선일 수 있다.
• $(1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ 에서 계수의 합이 $1$ 이라는 점을 기억한다. 계수의 합이 $1$ 인 꼴로 정리되면 그 점은 두 점을 지나는 직선 위에 있다.
• 원 문제는 거리 조건으로 돌아간다. $|\vec{p}-\vec{c}| = r$ 의 양변을 제곱해 내적으로 바꾸면 계산이 풀린다.
• 매개변수 $t$ 의 범위에 주의한다. 범위 제한이 없으면 직선 전체지만, $0 \le t \le 1$ 이면 선분 $\mathrm{AB}$ 만을 나타낸다.

개요

평면에서 두 직선은 만나거나 평행하거나 둘 중 하나였다. 그런데 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 경우가 새로 생긴다. 서로 다른 층에 놓인 두 도로처럼 어긋나 있는 관계이며, 이를 꼬인 위치라 한다.

중1에서 입체도형의 겉면을 다뤘다면, 여기서는 공간 안의 직선과 평면이 서로 어떻게 놓이는지를 따진다. 핵심 도구는 두 가지다. 공간의 수직 관계를 평면 위의 문제로 끌어내리는 삼수선 정리, 그리고 도형을 평면에 비춘 그림자를 다루는 정사영이다. 둘 다 “공간 문제를 어느 한 평면 위의 문제로 바꾼다”는 같은 전략을 쓴다.

핵심 사실

• 두 직선의 위치 관계는 세 가지다 — 한 점에서 만난다, 평행하다, 그리고 만나지도 평행하지도 않은 꼬인 위치에 있다. 꼬인 위치는 공간에서만 나타난다.
• 직선과 평면: 직선이 평면에 포함되거나, 한 점에서 만나거나, 평행하다.
• 두 평면: 한 직선에서 만나거나 평행하다. 만날 때 생기는 각이 이면각이며, 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각으로 잰다.
• 직선과 평면의 수직: 직선이 평면 위의 모든 직선과 수직이면 그 평면에 수직이다. 실제로는 교점을 지나는 두 직선과 수직임을 보이면 충분하다.
• 삼수선 정리: 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{P}$, 그 정사영 $\mathrm{H}$, 평면 위의 직선 $l$ 과 그 위의 점 $\mathrm{A}$ 에 대해 세 수직 관계 중 둘이 성립하면 나머지 하나도 성립한다.

$$\overline{\mathrm{PH}} \perp \alpha,\qquad \overline{\mathrm{HA}} \perp l \iff \overline{\mathrm{PA}} \perp l$$

• 공간의 수직 문제를 평면 위 직각삼각형 문제로 끌어내리는 것이 이 정리의 쓸모다.
• 정사영: 도형의 각 점에서 평면에 수선을 내려 만든 그림자다. 원래 도형과 정사영이 이루는 각을 $\theta$ 라 하면

$$S' = S\cos\theta$$

• 넓이는 $\cos\theta$ 만큼 줄어든다. $\theta = 0$ 이면 그대로, $\theta = 90°$ 이면 $0$ 이 된다.
• 선분의 정사영 길이도 같은 규칙을 따른다. 길이 $l$ 인 선분이 평면과 이루는 각이 $\theta$ 이면 정사영의 길이는 $l\cos\theta$ 다.
• 다면체의 성질: 꼭짓점 $v$, 모서리 $e$, 면 $f$ 사이에는 오일러의 다면체 정리 $v - e + f = 2$ 가 성립한다.

비교표

관계	평면에서	공간에서
두 직선	만남 / 평행	만남 / 평행 / 꼬인 위치
직선과 평면	—	포함 / 만남 / 평행
두 평면	—	교선에서 만남 / 평행

도구	하는 일
삼수선 정리	공간의 수직을 평면 위 직각삼각형으로
정사영	넓이·길이에 $\cos\theta$ 를 곱해 그림자로
이면각	교선에 수직인 두 반직선의 각

시험 포인트

• 꼬인 위치를 빠뜨리지 않는다. “만나지 않는 두 직선”이라고 해서 평행인 것이 아니다. 정육면체 그림에서 꼬인 위치의 모서리를 세는 문제가 단골로 나온다.
• **삼수선 정리는 “둘이면 셋째”**로 기억한다. 어떤 두 수직이 주어졌는지 표시해 두고 나머지 하나를 결론으로 쓴다.
• 정사영은 $\cos\theta$ 를 곱한다 — 나누는 것이 아니다. 그림자는 원래보다 작아지므로 $S' \le S$ 임을 떠올리면 방향이 확인된다.
• 각도는 “무엇과 무엇 사이”인지 정확히 잡는다. 직선과 평면이 이루는 각은 그 직선과 정사영이 이루는 각이며, 이면각과 혼동하면 안 된다.
• 그림을 반드시 그린다. 공간 문제는 머릿속으로 돌리기 어렵다. 수선의 발을 찍고 직각삼각형 하나를 찾아내면 평면 기하 문제로 바뀐다.

개요

평면에 축을 둘 그어 점을 두 수로 나타냈다면, 공간에서는 축을 하나 더 긋는다. 그러면 점이 $(x, y, z)$ 세 수로 정해지고, 공간도형 문제를 그림 대신 계산으로 다룰 수 있다.

놀라운 것은 평면에서 쓰던 식이 거의 그대로 확장된다는 점이다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 두 번 쓴 결과라 제곱항이 하나 늘어날 뿐이고, 내분점 공식은 좌표마다 똑같이 적용되며, 원의 방정식은 그대로 구의 방정식이 된다. 차원이 하나 늘어도 구조가 바뀌지 않는다는 것 — 이것이 좌표라는 도구의 힘이다.

GPS가 위성 세 곳까지의 거리로 내 위치를 찾는 것도 바로 이 공간좌표 위에서 이루어진다.

핵심 사실

• 공간좌표: 서로 수직인 $x$축·$y$축·$z$축을 잡고 점을 $\mathrm{P}(x, y, z)$ 로 나타낸다. 두 축이 정하는 $xy$평면·$yz$평면·$zx$평면을 좌표평면이라 한다.
• 좌표평면에 대한 대칭: $xy$평면에 대칭이면 $z$ 의 부호만, $yz$평면이면 $x$ 의 부호만, $zx$평면이면 $y$ 의 부호만 바뀐다. 원점 대칭이면 셋 다 바뀐다.
• 각 축에 대한 대칭: 그 축의 좌표만 그대로 두고 나머지 둘의 부호가 바뀐다.
• 두 점 사이의 거리: $\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)$, $\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)$ 에 대해

$$\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

• 밑면에서 한 번, 높이 방향으로 한 번 피타고라스 정리를 쓴 결과이며, 평면 공식에 $z$ 항이 하나 더 붙은 꼴이다.
• 내분점과 외분점: 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $m:n$ 으로 내분하는 점은 좌표마다 평면과 같은 공식을 쓴다.

$$\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n},\ \frac{nz_1+mz_2}{m+n}\right)$$

• 중점은 세 좌표를 각각 평균 낸 점이고, 삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 좌표를 각각 평균 낸 점이다.
• 구의 방정식: 중심 $(a,b,c)$, 반지름 $r$ 인 구는 “중심에서 거리가 일정한 점의 모임”이므로

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$$

• 일반형에서 중심 찾기: $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ 은 각 문자마다 완전제곱을 만들어 표준형으로 고친다. 원의 방정식에서 하던 것과 같다.
• 구와 좌표평면의 교선은 원이다. 예를 들어 $xy$평면과의 교선은 $z = 0$ 을 대입해 얻으며, 반지름은 $\sqrt{r^2 - c^2}$ 다($|c| < r$ 일 때).
• 공간에서의 벡터도 성분이 하나 늘 뿐이다. $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 이면 크기는 $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$, 내적은 $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ 이다.

비교표

	평면	공간
점	$(x, y)$	$(x, y, z)$
거리	$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$	$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$
원/구	$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$
내적	$a_1b_1+a_2b_2$	$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

시험 포인트

• 대칭에서 어느 좌표의 부호가 바뀌는지 정확히 판단한다. 평면 대칭이면 그 평면에 없는 좌표 하나가 바뀌고, 축 대칭이면 그 축을 뺀 두 좌표가 바뀐다. 반대로 외우기 쉬우니 한 번 정리해 둔다.
• 거리 공식에서 $z$ 항을 빠뜨리지 않는다. 평면 공식을 습관적으로 쓰다 보면 세 번째 항을 놓치기 쉽다.
• 구의 일반형은 완전제곱으로 고친 뒤 읽는다. 우변이 $r^2$ 이므로 반지름은 그 제곱근이며, 우변 값을 그대로 반지름으로 쓰면 틀린다.
• 우변이 음수이면 그런 구는 없다. 완전제곱 후 우변이 $0$ 이면 점 하나, 음수면 도형이 존재하지 않는다.
• 좌표평면 위의 점은 한 좌표가 $0$ 이다. $xy$평면 위의 점은 $z=0$, $z$축 위의 점은 $x=y=0$ 이라는 조건을 문제에서 바로 세운다.