합과 곱만 알아도 두 수를 찾는다
"두 수를 더하면 10, 곱하면 21이다. 두 수는 무엇인가?" 퀴즈 프로그램에 자주 나오는 문제다. 답은 3과 7 — 몇 번 찍어 보면 나오지만, 수가 커지면 찍기로는 감당이 안 된다.
이럴 때 쓰는 것이 근과 계수의 관계다. 두 수를 근으로 갖는 이차방정식은 x² − (합)x + (곱) = 0 이므로, 이 문제는 x² − 10x + 21 = 0 이 되고 인수분해하면 (x − 3)(x − 7) = 0 이다. 합과 곱이라는 두 정보만으로 방정식을 거꾸로 세운 뒤 풀면 되는 것이다. 합이 10, 곱이 24 라면 x² − 10x + 24 = 0 에서 4와 6 이 나온다.
곱셈 공식을 함께 쓰면 더 멀리 간다. 두 수의 제곱의 합을 물으면 각 수를 구할 필요 없이 (합)² − 2 × (곱) = 100 − 42 = 58 로 끝난다. 이렇게 "근을 구하지 않고 근에 대해 답하는" 방식은 시험에서도 시간을 크게 아껴 준다. 넓이가 정해진 직사각형의 둘레를 묻는 문제, 두 수의 차를 묻는 문제도 모두 합과 곱에서 출발한다.