길이를 2배 하면 넓이는 몇 배?

중2 도형의 닮음 · 5장

길이를 2배 하면 넓이는 몇 배?

대부분 2배라고 답합니다. 칸을 직접 세어 보면 답이 달라집니다.

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칸을 세어 보자

k 를 밀면 정사각형이 커집니다. 원래 1×1 칸이 안에 몇 개 들어가는지 세어 보세요.

왜 제곱이고 세제곱인가

길이k 배. 가로 한 줄만 보면 딱 k 배로 늘어난다.
넓이k² 배. 가로도 세로도 k 배가 되므로 k 를 두 번 곱한다.
부피k³ 배. 높이까지 k 배가 되어 세 번 곱해진다.

막대 세 개의 길이를 견줘 보세요. 길이가 조금만 커져도 부피가 훨씬 빠르게 불어납니다. 이것이 닮음비 문제의 전부입니다.

이렇게 해 보세요

1k = 2 — 칸이 정확히 네 개. 넓이는 2배가 아니라 4배입니다.
2k = 3 — 칸이 아홉 개. 부피라면 27배입니다.
3k = 1.5 — 정수가 아니어도 그대로 2.25배입니다.

📐 닮음비와 넓이비·부피비

라지 한 판 vs 레귤러 두 판

지름 32cm 라지와 지름 22cm 레귤러. 두 판이 정말 더 많을까요?

지름만 비교하면 속는다

1.45지름의 비. 32 ÷ 22 ≈ 1.45 — 길이로는 절반도 차이가 안 난다.
2.10넓이의 비. 1.45² ≈ 2.10 — 라지 한 판이 레귤러 2.1판 만큼이다.
2.0레귤러 두 판. 넓이로는 2.0. 라지 한 판이 더 넓다.

광고는 지름이나 인치로 말하지만 우리가 먹는 것은 넓이입니다. TV도 같습니다 — 65인치는 55인치보다 대각선이 1.18배지만 화면은 1.4배입니다.

이렇게 해 보세요

1k 를 1.45 에 맞추고 넓이 막대를 보세요. 2.0 을 넘습니다.
2k = 1.40 으로 내려 보세요. 넓이가 1.96 — 레귤러 두 판과 거의 같아집니다.
3값을 1cm²당 얼마로 환산하면 어느 쪽이 싼지 바로 나옵니다.

🌍 라지 한 판 vs 레귤러 두 판📐 원의 둘레와 넓이

작아질 때는 더 빠르게 작아진다

k 를 1보다 작게 줄여 보세요. 부피 막대가 순식간에 짧아집니다.

축소 모형에서 벌어지는 일

1/2길이 절반. 넓이는 1/4, 부피는 1/8 로 줄어든다.
1/1010분의 1 모형. 부피와 무게는 1000분의 1 이 된다.
그래서몸집이 크면 다리가 굵다. 무게는 세제곱으로 느는데 다리 단면은 제곱으로만 늘기 때문이다.

길이·넓이·부피 막대가 서로 다른 속도로 움직이는 것을 보세요. 같은 k 인데 세 값이 벌어지는 것이 닮음비의 핵심입니다.

이렇게 해 보세요

1k = 0.5 — 부피가 1/8 로 줄어듭니다.
2k = 3 으로 올려 세 막대의 길이 차이를 비교해 보세요.
3넓이를 2배로 만드는 k 를 슬라이더로 찾아보세요. (1.40~1.45 사이에 있습니다)

📘 도형의 닮음

정리 — 시험에서는 이렇게 나온다

오늘 만진 것을 문제 푸는 순서로 바꾸면 이렇습니다.

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