그래프로 읽는 이차부등식 — 중3 이차함수에서 고1 부등식으로

중3 → 고1 잇기 · 5장

그래프로 읽는
이차부등식

중3 에서 배운 “x축과의 교점” 하나만 있으면 고1 이차부등식은 새로 외울 것이 거의 없습니다.

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x축과 만나는 곳이 방정식의 해

y = x² − 4x + 3 이 그려져 있습니다. 이 곡선이 x축을 뚫는 두 자리를 눈으로 확인해 보세요.

중3 에서 이미 배운 것

교점y = 0 인 자리. 그래프가 x축에 닿는 순간 함숫값이 0 이므로, 그 x 가 곧 x² − 4x + 3 = 0 의 해다.
인수분해(x − 1)(x − 3) = 0. 그래서 교점은 x = 1 과 x = 3 이다. 그림과 식이 같은 말을 하고 있다.
꼭짓점두 교점의 한가운데. x = 2 에서 가장 낮고, 그 값이 −1 이다. 대칭이라 늘 이렇게 된다.

그림 아래 한 줄이 판별식과 x축과 몇 점에서 만나는지를 함께 알려 줍니다. 판별식이 양수인 동안은 언제나 “두 점에서 만납니다”가 뜹니다 — 교점의 개수와 판별식의 부호는 같은 사실입니다.

이렇게 해 보세요

1c 를 4 로 — 판별식이 0 이 되고 곡선이 x축에 살짝 닿습니다(중근).
2c 를 5 로 — 곡선이 x축 위로 떠올라 교점이 사라집니다.
3c 를 다시 3 으로 — 두 교점이 돌아옵니다.

📘 인수분해와 이차방정식📐 근의 공식

축 위·아래를 읽으면 부등식의 해

같은 그래프입니다. 이번에는 곡선이 x축보다 위에 있는 구간과 아래에 있는 구간을 나눠 봅니다.

부등호가 묻는 것은 “어디가 위인가”

y>0바깥쪽. 곡선이 x축 위에 있는 구간이므로 해는 x < 1 또는 x > 3 이다.
y<0안쪽. 두 교점 사이에서만 곡선이 아래에 있으므로 1 < x < 3 이다.
등호교점을 넣느냐 마느냐. ≤ 나 ≥ 면 x = 1, 3 도 해에 포함된다. 부등호 하나로 답이 달라진다.

외울 것은 “바깥쪽·안쪽” 두 낱말뿐입니다. 아래로 볼록한 그래프에서 y > 0 은 바깥, y < 0 은 안쪽 — 두 교점을 먼저 구하고 그림을 떠올리면 부등호 방향을 헷갈릴 일이 없습니다.

이렇게 해 보세요

1b 를 −5 로 — 교점이 벌어지며 “안쪽” 구간도 함께 넓어집니다.
2c 를 5 로 — 곡선이 x축 위로 떠서 y < 0 인 구간이 아예 사라집니다(해가 없음).
3c 를 4 로 — 접하는 순간, y < 0 은 해가 없고 y ≤ 0 은 x = 2 하나뿐입니다.

📘 이차부등식과 그래프📐 판별식

a 가 음수면 통째로 뒤집힌다

y = −x² + 4x − 3 입니다. 교점은 아까와 똑같이 1 과 3 인데, 위아래가 뒤바뀌었습니다.

교점은 그대로, 안팎이 바뀐다

y>0이번엔 안쪽. 위로 볼록하므로 두 교점 사이가 x축 위다 — 해는 1 < x < 3.
y<0이번엔 바깥쪽. x < 1 또는 x > 3 으로, 앞 장과 정확히 맞바뀌었다.
표준 절차a 를 양수로 만들고 시작한다. 양변에 −1 을 곱하면 부등호가 뒤집히지만, 그 뒤로는 앞 장의 규칙을 그대로 쓸 수 있다.

그림 아래 한 줄이 “위로 볼록” 으로 바뀐 것을 확인하세요. 부등식 문제에서 가장 많이 틀리는 자리가 여기입니다 — a 의 부호를 보지 않고 “안쪽”·“바깥쪽”을 외운 대로 쓰는 것입니다.

이렇게 해 보세요

1a 를 1 로 — 같은 교점을 유지한 채 곡선만 뒤집혀, 안팎이 다시 맞바뀝니다.
2a 를 −0.5 로 — 완만해져도 위로 볼록인 한 안팎의 규칙은 그대로입니다.
3a 를 0 으로 — 이차항이 사라져 직선이 되고, 더는 이차부등식이 아닙니다.

📘 이차부등식과 그래프🔬 함수 놀이터

판별식이 정하는 세 경우

교점이 둘이 아닐 때가 진짜 시험 문제입니다. a > 0 으로 맞춰 놓고 세 경우만 정리하면 끝납니다.

a > 0 일 때 (아래로 볼록)

D>0교점 둘. 두 근을 α < β 라 하면 y > 0 ⇒ x < α 또는 x > β, y < 0 ⇒ α < x < β.
D=0접한다. 곡선이 x축에 닿기만 하므로 y < 0 은 해가 없고, y > 0 은 접점만 뺀 모든 실수다.
D<0만나지 않는다. 곡선이 통째로 x축 위이므로 y > 0 은 모든 실수, y < 0 은 해가 없다.

시험에서 “모든 실수 x 에 대해 성립할 조건”을 물으면 답은 거의 D < 0 입니다. 다만 등호가 붙은 ≥ 0 이면 D ≤ 0 이 되고, a > 0 이라는 조건도 함께 써야 합니다 — a 를 빠뜨린 답이 가장 많이 감점됩니다.

스스로 확인해 보세요

1x² − 2x − 8 > 0 의 해는? (먼저 인수분해, 그다음 바깥쪽)
2−x² + 3x − 2 ≥ 0 의 해는? (a 를 양수로 만들면 부등호가 뒤집힙니다)
3모든 실수 x 에 대해 x² + kx + 4 > 0 이 되도록 하는 k 의 범위는? (D < 0)

📘 이차부등식과 그래프📐 판별식🔬 함수 놀이터

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